永磁同步电机转矩控制代价函数最小化设计
 
 摘要
 
永磁同步电机模型预测转矩控制的代价函数中，转矩与磁链具有不同的量纲，权重系数的合理整定是实现控制性能优化的关键。数学之友系统阐述了模型预测转矩控制中代价函数最小化设计的理论框架与技术路径，深入分析了传统带权重系数代价函数的设计难点与整定困境。在此基础上，从量纲统一与权重消除的角度，综述了无权重代价函数设计的两种主流方法——几何距离映射法与并行代价函数法；从权重系数优化整定的角度，讨论了模糊控制、粒子群算法与强化学习等智能优化方法的应用。研究表明，无权重代价函数设计通过消除权重系数整定环节简化了系统设计并提升了控制鲁棒性，而智能优化方法则为复杂工况下的权重自适应提供了可行路径。本文最后探讨了代价函数最小化设计的未来发展方向。
 
关键词：永磁同步电机；模型预测转矩控制；代价函数；权重系数；最小化设计
 
 一、引言
 
永磁同步电机以其高效率、高功率密度和优异的调速性能，在电动汽车、风力发电、高性能伺服驱动等领域获得了广泛应用。随着应用场景对控制精度和动态性能要求的持续提升，永磁同步电机高性能控制技术的研究已成为提升电机系统性能的必经之路。
 
在永磁同步电机的多种控制策略中，磁场定向控制和直接转矩控制是两种经典方法。然而，模型预测控制凭借其动态响应快、目标函数配置灵活、易于处理非线性约束等优势，已成为电机驱动系统的主流控制策略。模型预测控制可分为模型预测电流控制和模型预测转矩控制，其中模型预测转矩控制通过将转矩和磁链直接引入目标函数，实现了对两者的直接控制。
 
模型预测转矩控制的核心机制在于：在每个控制周期内，中华纸业基于永磁同步电机的离散数学模型预测未来时刻的转矩和磁链值，然后通过代价函数对备选电压矢量进行评估，选取使代价函数最小的电压矢量作为最优控制输出。模型预测转矩控制能够直接控制转矩和磁链，将两者添加到代价函数中即可。然而，模型预测转矩控制在代价函数中为磁链项添加了权重系数，用以调节磁链项对代价函数值的影响程度。不同的权重系数对电机的控制性能具有显著影响。由于转矩与磁链具有不同的量纲，如何合理设计代价函数并实现其最小化，已成为模型预测转矩控制研究的核心问题。
 
本文聚焦于永磁同步电机转矩控制中代价函数最小化设计的核心问题，从带权重系数代价函数的设计难点、无权重代价函数的创新设计方法以及权重系数的智能优化整定三个层面展开系统论述，旨在为该领域的研究与工程应用提供理论参照。
 
 二、永磁同步电机数学模型与模型预测转矩控制基本原理
 
模型预测转矩控制的实现以永磁同步电机的离散数学模型为基础。在转子磁场定向的旋转坐标系下，永磁同步电机的电压方程描述了定子电压与定子电流之间的关系，其中包含了定子电阻压降、电感电动势以及旋转电动势等物理分量。电磁转矩方程则揭示了转矩与交轴电流之间的正比关系，这是永磁同步电机转矩控制的物理基础。定子磁链幅值由直轴磁链和交轴磁链合成得到，反映了电机气隙磁场的大小。
 
为实现在数字控制器中的预测控制，需将上述连续域的微分方程转化为离散域的代数方程。采用前向欧拉离散化方法，可以将当前时刻的电流值、电压值和转速值代入离散方程，从而计算出下一时刻的电流预测值。基于预测电流，进一步可以预测下一时刻的电磁转矩和定子磁链。
 
模型预测转矩控制的核心思想是：利用永磁同步电机的离散数学模型，遍历两电平电压源逆变器所能产生的全部备选电压矢量，分别预测每个矢量作用下的转矩和磁链响应，然后通过代价函数选择最优矢量。这一机制使得模型预测转矩控制能够在每个控制周期内实现“滚动优化”，相较于传统直接转矩控制的滞环控制具有更高的控制精度和更小的转矩脉动。
 
模型预测转矩控制区别于模型预测电流控制的关键在于其控制目标直接面向转矩和磁链。模型预测转矩控制通过将转矩和磁链引入目标函数，能够直接控制这两个关键变量。这种直接控制的优势在于响应速度更快、无需电流环的比例-积分调节器、控制结构更加简洁。
 
 三、代价函数最小化设计的核心问题
 
在传统的模型预测转矩控制中，代价函数通常采用加权求和的形式，即转矩误差的绝对值乘以转矩权重系数，加上磁链误差的绝对值乘以磁链权重系数。代价函数最小化设计的核心难点在于：转矩的量纲为牛顿米，磁链的量纲为韦伯，两者量纲不同，无法直接相加。因此，必须在代价函数中引入转矩权重系数和磁链权重系数，将两个不同量纲的控制目标加权求和。
 
然而，权重系数的引入带来了新的问题。不同的权重系数对电机的控制性能具有显著影响。权重系数偏大则磁链控制占优，可能导致转矩响应变慢；权重系数偏小则转矩控制占优，可能导致磁链跟踪精度下降。权重系数的最优值随电机运行工况的变化而变化，固定权重难以在全工况范围内保持最优性能。权重系数的整定过程缺乏系统的理论指导，严重依赖工程经验。权重系数的微小变化可能引起控制性能的显著波动，增加了系统调试的难度。
 
权重系数的合理整定是模型预测转矩控制工程应用中的主要障碍。目前尚没有成熟的理论用于计算转矩和磁链之间的权重系数，只能通过大量的试验总结经验，获得较优的权重系数，设计过程复杂。传统试错法或启发式整定方法不仅耗时、缺乏自适应性，且难以在不同工况下维持最优控制性能。因此，如何消除权重系数整定的困难，或实现权重系数的自动优化，已成为模型预测转矩控制研究的重要方向。
 
 四、无权重代价函数的设计方法
 
为解决权重系数整定的难题，近年来研究者提出了多种无需权重系数的代价函数设计方法。这些方法的共同思路是：通过数学变换将转矩误差和磁链误差映射为具有相同量纲的表达式，从而实现两者的直接叠加，省去权重系数的选取流程。
 
几何距离映射法是一种典型的无权重设计方法。该方法的核心思想是：在构建永磁同步电机离散数学模型的基础上，将转矩误差与磁链误差表达式映射至两相静止坐标系下，分别等价为电压矢量终点到一条直线的距离和到一个圆的距离。由于距离具有相同的量纲，两者可以直接叠加构成新的代价函数。备选电压矢量依次代入代价函数后，选取使代价函数最小的最优电压矢量作为下一控制周期的电压输入。
 
这一方法的理论优势在于：将量纲不同的物理量统一转化为几何距离，从根本上消除了权重系数存在的必要性，同时保持了模型预测转矩控制快速动态响应的优势。仿真与实验结果表明，该方法具有良好的稳态与动态性能，磁链正弦度良好，转矩响应迅速且平稳。
 
另一种无权重设计思路来自基于无权重因子并行代价函数的模型预测转矩控制方法。该方法首先构建并行代价函数——通过构造积分误差值函数消除静态误差，通过构造微分误差值函数抑制转矩和磁链误差的振荡。为解决转矩和磁链量纲不同的问题，该方法提出了无权重双代价函数并行策略：将多目标代价函数转化为单目标代价函数以获得一组候选电压矢量，然后以电流型代价函数作为最终判据评估最优电压矢量，从而消除了权重系数。
 
仿真结果表明，该方法能够抑制转矩和磁链脉动，降低模型预测转矩控制对模型参数的依赖性，解决了因权重系数存在而难以适应不同运行工况的难题。该方法在不依赖权重因子的前提下实现了对转矩和磁链的有效控制，具有较好的工程应用价值。
 
在无权重代价函数设计领域，研究者还探索了多种创新方案。例如，通过将磁链和转矩控制转换为相对误差率控制来消除权重系数，通过标幺化处理将转矩和磁链转换为无量纲的误差率，以及基于六相电压误差的代价函数设计等。这些方法从不同角度解决了量纲不统一的问题，为模型预测转矩控制的工程应用提供了多样化的技术选择。
 
 五、权重系数的智能优化方法
 
除消除权重系数外，另一条技术路径是通过智能优化方法实现权重系数的自动整定与在线调节，使代价函数在不同工况下始终保持最优配置。
 
基于模糊控制调节权重系数的方法针对权重系数不易设计的问题，利用模糊控制理论实现了权重系数的动态调整。传统代价函数中权重系数为固定数值时，根据电机的磁链、转矩和电流的特点，可以得到电机磁链与直轴电流、转矩与交轴电流变化的相关性。结合模糊控制理论，以定子的直轴电流和交轴电流作为模糊控制的输入量，动态调整权重系数，省去了实验逐步调试权重因子的过程。仿真和实验结果表明，模糊调节权重系数的代价函数有效抑制了转矩和磁链脉动，综合稳态误差更小，实现了两个控制目标的合理权衡。
 
基于群智能优化的权重系数整定是另一重要方向。研究者提出了基于混沌变异的动态重组多种群粒子群算法，通过分析模型预测转矩控制代价函数的结构特征，实现权重系数的自整定。该方法以直轴电流和交轴电流脉动误差均方根作为评价指标，在较少的迭代次数内即可整定出最优权重系数。逼近理想解排序法也被应用于优化代价函数中权重因子的选择。
 
近期，强化学习驱动的最优权重整定方法在该领域取得了重要突破。研究团队将权重系数整定问题建模为连续动作空间的强化学习任务，设计了定制化的代价函数，将转矩跟踪、磁链调节和开关频率最小化连同待优化的权重参数统一纳入其中。采用双延迟深度确定性策略梯度算法，通过双评论家网络、延迟策略更新和目标策略平滑等机制，显著提升了学习过程的稳定性和收敛性。强化学习智能体观测直轴电流、交轴电流、跟踪误差、归一化转矩和磁链偏差等关键系统状态，输出磁链权重系数和开关频率权重系数，在涵盖多种转速和负载条件的仿真环境中进行交互学习，无需先验专家知识即可获得平衡多个控制目标的最优策略。该研究为永磁同步电机多目标模型预测控制提供了一种实用智能的解决方案。
 
 六、结论
 
永磁同步电机模型预测转矩控制中代价函数的最小化设计是实现高性能控制的核心技术问题。本文从量纲统一与权重优化的双重视角，系统梳理了该领域的主要研究进展，得出以下结论。
 
第一，代价函数最小化设计的根本难点在于转矩与磁链的量纲不一致，权重系数的引入虽解决了量纲问题，但带来了整定困难与工况适应性不足的新矛盾。
 
第二，无权重代价函数设计通过几何距离映射或并行代价函数策略，将多目标统一为单目标进行优化，从根本上消除了权重系数存在的必要性，是解决权重整定难题的有效技术路径。
 
第三，模糊控制、粒子群算法与强化学习等智能优化方法为权重系数的自动整定与在线自适应调节提供了可行方案。特别是基于强化学习的方法无需先验专家知识即可获得最优策略，展现出广阔的应用前景。
 
未来研究可在以下方向持续深化：一是进一步降低无权重方法的计算复杂度，提升其实时性；二是将强化学习等方法从仿真验证推向实际工程应用；三是探索权重系数优化与模型参数鲁棒性的协同设计。
 
 
 参考文献
 
[1] 表贴式永磁同步电机预测转矩控制的无权重代价函数设计方法[J]. 电工技术学报, 2023, 38(12): 3141-3150.
 
[2] 丁志强, 郭凯凯, 高雄, 等. 基于无权重PID型代价函数的永磁同步电机模型预测转矩控制[J]. 电机与控制应用, 2024, 51(11): 44-52.
 
[3] 史涔溦, 马红如, 陈卓易, 等. 永磁同步电机模糊代价函数预测转矩控制[J]. 电机与控制学报, 2022(1): 1-8.
 
[4] 基于粒子群算法的永磁同步电机模型预测控制权重系数设计[J]. 电工技术学报, 2021, 36(1): 50-59.
 
[5] 永磁同步电机模型预测转矩控制客观评价法综述[J]. 2023.